イールドカーブの大小関係について

イールドカーブについて、参考書なんか見ているとスポットレートカーブとフォワードレートカーブとパーイールドカーブがそれぞれグラフ化されていて、どっちがどっちよりも大きいとか小さいとか、そういった説明がなされている。

視覚的には「はいそうですか」という感じだし、単に試験を通過するだけであれば丸暗記でも良いわけだが、改めてこれを数式的に噛み砕いていく。

導出

①スポットレートカーブとフォワードレートカーブ

右上がりのスポットレートカーブを前提に話を進める。
また、話を分かりやすくするために式は一般化せずに、具体的に残存期間2年と3年の債券で考えてみる。

まず、スポットレートとフォワードレートの関係式から、以下が導ける。

$(1+r_{0,3})^3=(1+r_{0,2})^2(1+f_{2,3})$

右上がりのスポットレートのとき、2年もののスポットレート $r_{0,2}$ と3年もののスポットレート $r_{0,3}$ の大小関係は $(1+r_{0,2})＜(1+r_{0,3})$ となるので、上記式を変形すると、

$\underset{大}{\underline{(1+r_{0,3})^2}}(1+r_{0,3})=\underset{小}{\underline{(1+r_{0,2})}}^2(1+f_{2,3})$

下線部の大小関係が成立する。これより、これを等式とするためには $(1+r_{0,3})＜(1+f_{2,3})$ となる必要があり、結果 $r_{0,3}＜f_{2,3}$ の関係が成立する。

これを $t$ とか $t-1$ で一般化すれば以下が成立する、すなわち右上がりのスポットレートカーブに対して、フォワードレートカーブはその上に位置することになる。

$r_{0,t}＜f_{t-1,t}$

②スポットレートカーブとパーイルドカーブ

さて問題はパーイールドがどういう関係か、である。参考書のグラフを見ていると、右上がりのスポットレートカーブのときには微妙にパーイルドカーブが下回っている。

ここでも、話を分かりやすくするために、残存期間2年の債券で考えてみる。このときのパー債の価格は以下のように表せられる。

$P=\dfrac{100c}{1+y} + \dfrac{100c+F}{(1+y)^2} \\ \Leftrightarrow 100 = \dfrac{100y}{1+y} + \dfrac{100y+100}{(1+y)^2} \\ \Leftrightarrow 100 = \dfrac{100y}{1+r_{0,1}} + \dfrac{100y+100}{(1+r_{0,2})^2}$

P:債券価格、c:クーポンレート、F:償還価格、y:複利最終利回り、r:スポットレート
パー債なのでP=F=100(債券価格は額面に等しい)、c=y(クーポンレートと複利最終利回りは等しい)

このとき、上記2行目と3行目の式は分子が同一のため分母に着目してみる。そうするとyとrは、 $r_{0,1}＜y＜r_{0,2}$ が成立しないとこの等式は成り立たない。( $r_{0,1}＜r_{0,2}$ なので、yはその間に挟まれないと過大・過小になってしまう。) すなわち、右上がりのスポットレートカーブに対して、パーイールドカーブはそれより下回ることになる。