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イールドカーブの大小関係について

イールドカーブについて、参考書なんか見ているとスポットレートカーブとフォワードレートカーブとパーイールドカーブがそれぞれグラフ化されていて、どっちがどっちよりも大きいとか小さいとか、そういった説明がなされている。

視覚的には「はいそうですか」という感じだし、単に試験を通過するだけであれば丸暗記でも良いわけだが、改めてこれを数式的に噛み砕いていく。

導出

①スポットレートカーブとフォワードレートカーブ

右上がりのスポットレートカーブを前提に話を進める。
また、話を分かりやすくするために式は一般化せずに、具体的に残存期間2年と3年の債券で考えてみる。

まず、スポットレートとフォワードレートの関係式から、以下が導ける。

(1+r_{0,3})^3=(1+r_{0,2})^2(1+f_{2,3})

右上がりのスポットレートのとき、2年もののスポットレートr_{0,2}と3年もののスポットレートr_{0,3}の大小関係は(1+r_{0,2})<(1+r_{0,3})となるので、上記式を変形すると、

\underset{大}{\underline{(1+r_{0,3})^2}}(1+r_{0,3})=\underset{小}{\underline{(1+r_{0,2})}}^2(1+f_{2,3})

下線部の大小関係が成立する。これより、これを等式とするためには(1+r_{0,3})<(1+f_{2,3})となる必要があり、結果r_{0,3}<f_{2,3}の関係が成立する。

これをtとかt-1で一般化すれば以下が成立する、すなわち右上がりのスポットレートカーブに対して、フォワードレートカーブはその上に位置することになる。

r_{0,t}<f_{t-1,t}

②スポットレートカーブとパーイルドカーブ

 さて問題はパーイールドがどういう関係か、である。参考書のグラフを見ていると、右上がりのスポットレートカーブのときには微妙にパーイルドカーブが下回っている。

ここでも、話を分かりやすくするために、残存期間2年の債券で考えてみる。 このときのパー債の価格は以下のように表せられる。

P=\dfrac{100c}{1+y} + \dfrac{100c+F}{(1+y)^2} \\ \Leftrightarrow 100 = \dfrac{100y}{1+y} + \dfrac{100y+100}{(1+y)^2} \\ \Leftrightarrow 100 = \dfrac{100y}{1+r_{0,1}} + \dfrac{100y+100}{(1+r_{0,2})^2}

P:債券価格、c:クーポンレート、F:償還価格、y:複利最終利回り、r:スポットレート
パー債なのでP=F=100(債券価格は額面に等しい)、c=y(クーポンレートと複利最終利回りは等しい)

 このとき、上記2行目と3行目の式は分子が同一のため分母に着目してみる。そうするとyとrは、r_{0,1}<y<r_{0,2}が成立しないとこの等式は成り立たない。(r_{0,1}<r_{0,2}なので、yはその間に挟まれないと過大・過小になってしまう。) すなわち、右上がりのスポットレートカーブに対して、パーイールドカーブはそれより下回ることになる。

※式を一般化すれば、r_{0,1}<y<r_{0,n}になる。すなわちn年目のスポットレートより、パーイールドは下回ることになる。

これを整理すると、右上がりのスポットレートカーブ(順イールド)のときは、パーイールドカーブ<スポットレートカーブ<フォワードレートカーブが成立する。

当然、逆イールドのときは 不等号が逆になり、フォワードレートカーブ<スポットレートカーブ<パーイールドカーブが成立する。

以上

 

参考文献: