連続複利計算の考え方 - 一生旅行生活してえ

通常、債券の利払いは年1回とか年2回といった頻度だが、これを連続的に、つまり年1回の利払いを月1回、日1回、秒1回…というように慣らしていったときの金利計算は以下の式で表される。
※ここでの"債券"はいわゆる国債などの個別有価証券というより、複利効果をもたらす一般的な経済学的概念での投資資産と捉えてほしい。

$t$ 年後の価値 $V_{t}$ は、資産 $V_{0}$ を年利 $r$ の連続複利で投資すると、

$V_{t}=V_{0}e^{rt}$

なお、この時、通常の複利計算(年1回とか)よりも若干値は大きくなる。というのも、例えば年1回と年2回の利払いを比較した際、年1回は1年毎であるのに対して年2回は半年ごとに複利効果が発生するためである。つまり年利として同じ利息額であっても利払い回数が多ければ多いほど、複利が働くことになる。これを最大限にしたものが連続複利となる。

導出

まず、年1回利払いを仮定して、 $t$ 年後の価値 $V_{t}$ は、資産 $V_{0}$ を年利 $r$ で投資すると、以下の式で示される。これは単純な複利計算。

$V_{t}=V_{0}\left( 1+r\right) ^{t}$

ここで、1年間を無数の小期間 $n$ に分割し、その1小期間の利子率を $i$ とすると年利 $r$ は以下で表される。

$r=ni\Leftrightarrow i=\dfrac {r}{n}$

これより、1年間を連続複利とすると、 $t$ 年後の価値 $V_{t}$ は以下の式となる。

$V_{t}=V_{0}\left( 1+i\right) ^{nt}=V_{0}\left( 1+\dfrac {r}{n}\right) ^{nt}$

ここで $n$ は無限大のため、 $n\rightarrow \infty$ の極限値を取る。また、 $\dfrac {n}{r}=\alpha$ とおくと、 $n\rightarrow \infty$ の時、 $\alpha\rightarrow \infty$ となるため、

$V_{t}=V_{0} \displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac {r}{n}\right) ^{nt} \\ \hspace{10mm} =V_{0} \displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac {1}{\alpha }\right) ^{\alpha rt} \\ \hspace{10mm} =V_{0}\left( \displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac {1}{\alpha }\right) ^{\alpha }\right) ^{rt} \\ \hspace{10mm} =V_{0}e^{rt}$

∵大かっこでくくった箇所は $e$ の定義そのものである。

逆に、 $V_{t}$ の現在価値 $V_{0}$ は以下式で表される。

$V_{0}=V_{t}e^{-rt}$

以上