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定率成長配当割引モデルとPBRとの関係

株価の理論価格の一つとしてある配当割引モデルのうち、企業が一定の成長率にて成長していくとことを前提とする定率成長配当割引モデルとPBRとの関係式を整理する。

前提知識

定率成長における配当割引モデルは以下の式で示される。

P_{0}=\dfrac{D_{1}}{k-g} \hspace{10mm} 0 < g < k \cdots (1) 

P_{0}理論株価D_{1}:初年度配当、k:割引率(株主要求収益率)、g:配当成長率

まずはこの式を導出する。

企業が成長率gで成長すると、2年目配当はもともとの1年目の配当に加えて、gで成長した分が加算されるため、以下のように示される。

D_{2}=D_{1}+gD_{1}=D_{1}(1+g)

 なので、これを永続的に考えれば、n年目の配当D_{n}について、一般的な複利計算のように以下のように表せられる。

D_{n}=D_{1}(1+g)^{(n-1)} 

 ここで、配当割引モデルにおける理論株価は、各年度における配当を現在価値に割り引いたものであるため、

 P_{0}=\dfrac {D_{1}}{(1+k)}+\dfrac {D_{2}}{(1+k)^2}+\dfrac {D_{3}}{(1+k)^3} \cdots \\ \hspace{5mm} = \dfrac {D_{1}}{(1+k)}+\dfrac {D_{1}(1+g)}{(1+k)^2}+\dfrac {D_{1}(1+g)^2}{(1+k)^3}+ \cdots

 これは等比数列の和となるため、両辺に公比である(1+g)/(1+k)を掛けたものを引いて整理すると、(1)の式が導出される。等比数列の和の計算方法の詳細は色んなサイトで紹介されているので、ここでは割愛する。

本題

(1)式のPを株価ではなく時価総額Dを1株あたりの配当ではなく配当総額とみなして、ROE自己資本B、配当性向dを用いて変形する。なお、成長率gはサスティナブル成長率として、g=ROE(1-d)が成り立つことを前提とする。

P=\dfrac{D}{k-g}=\dfrac {ROE \times B \times d}{k-ROE(1-d)} \cdots (2) 

∵D=当期純利益(=ROE \times B) \times 配当性向(d)

このため、株価収益率kROEと同値だった場合は、上記式のROEkに置き換えて、以下となる。

P=\dfrac {k \times B \times d}{k-k+kd}=B \\ \Leftrightarrow \dfrac{P}{B}=1  

すなわち、時価総額自己資本が成り立ち、PBR(株価純資産倍率)=1が導ける。

また、(2)式を以下のように変形する。

P=\dfrac {(k-ROE(1-d)) \times B - kB+ROE \times B}{k-ROE(1-d)} \\ \hspace{5mm} = B + \dfrac{B}{k-g}\times(ROE-k)  

 ここで、右辺のB \times (ROE-k)は残余利益を表し、それをk-gで割ることで、現在価値に割り引いていることを表している。すなわち配当割引モデルと残余利益モデルの等価性を示している。

なお、株価収益率を下回る、すなわちROE<kのときは右辺の第二項はマイナスとなるため、PBR(株価純資産倍率(=P/B))は1倍を下回る。当然逆であれば1倍を上回る。

 また、配当割引モデルとPER(株価収益率)との関係は以下の通りで示される。

PER=\dfrac{株価}{EPS} \\ \hspace{10mm}=\dfrac{D}{k-g} \times \dfrac {1}{EPS} \\ \hspace{10mm} =\dfrac{EPS \times d}{k-g} \times \dfrac {1}{EPS} \\ \hspace{10mm} =\dfrac{d}{k-g}

∵D=一株あたり当期純利益(=EPS) \times 配当性向(d)

 

以上